Syngende flasker

Når du blåser over tuten på en delvis tom flaske kan flasken svare med en klar og dyp tone. Ved å justere mengden væske i flasken vil tonen flasken synger endres.

Det er fristende å modellere dette som man alltid gjør med lyd, nemlig ved å lete etter lengden av lydbølgen som passer perfekt inn i flasken. Vi forenkler situasjonen til et rør med lengde $L$, radius $r$ og lukket bunn. Hvis lydbølgens lengde er $\lambda$ vil man da ha en node i rørets bunn og en topp ved åpningen, så $L=\lambda/4$. Vi kan relatere bølgelengden $\lambda$ til frekvensen $f$ ved $f\lambda = c$, der $c$ er lydhastigheten. Den forventede frekvensen til en 16cm høy flaske er da

\[f = \frac{c}{4L} \approx 531\,\mathrm{Hz} \left(\frac{c}{340\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\right) \left(\frac{16\,\mathrm{cm}}{L}\right). \]

Problemet er at dette er nesten tre ganger høyere enn det vi ville målt dersom vi testet på en vanlig flaske av den størrelsen. Den dype tonen som kommer fra en syngende flaske tilsvarer en lydbølge som er mye større enn flasken selv. Fenomenet som gjør at flasken synger må altså ha å gjøre med noe annet enn hvorvidt bølgelengden passer inn i flasken. La oss se for oss hva som skjer.

Når man blåser over flaskens tut påfører man et overtrykk som beveger seg ned i flasken. Dette fører til en kompresjon av luften i flasken som suger luft inn fra tuten. Det hoper seg opp trykk inne i flasken og dette trykket begynner å presse tilbake. Etterhvert snur effekten og luften i tuten skyves ut på grunn av trykket inne i flasken. Det blir så undertrykk i flasken som suger luften inn igjen.

Komprimerbarheten til luften i beholderen må altså være en avgjørende faktor. Da hjelper det å huske at for en ideell gass er $PV^\gamma$ konstant. I vårt tilfelle endrer trykket $P$ og volumet $V$ seg, slik at

\[\Delta P = -\gamma \frac{P}{V}\Delta V \]

der $P$ er trykket inne i flasken, $V$ er flaskens volum og $\gamma$ er gassens adiabatiske indeks. Kraften det komprimerte volumet utøver på luften i flasketuten er da

\[F = -A \Delta P = \gamma \frac{PA}{V}\Delta V, \]

der $A$ er arealet av tutens tverrsnitt. Det som gjør at luften inne i flasken komprimeres er forflytningen $x$ av luften innover i tuten, så $\Delta V=-Ax$. Kraften fra den komprimerte luften i flasken på luften i flasketuten er med andre ord proporsjonal med forflytningen til luften i tuten -- altså en fjærkraft,

\[F = -\gamma \frac{PA^2}{V}x. \]

Vi kan da se på luften i tuten som en masse $m=\rho A h$ på en fjær med fjærkonstant $k=\gamma PA^2/V$, altså

\[\rho A h \ddot{x} = -\gamma \frac{PA^2}{V}x. \]

Dette er en harmonisk oscillator med vinkelfrekvens

\[\omega^2 = \frac{\gamma P}{\rho} \frac{A}{V h}. \]

Ved å bruke at lydhastigheten i en ideell gass er

\[c^2 = \gamma \frac{P}{\rho}\]

kan vi skrive vinkelfrekvensen slik

\[\omega^2 = c^2 \frac{A}{V h}. \]

Ved å introdusere vanlig frekvens $2\pi f = \omega$ får vi altså

\[\boxed{ f = \frac{c}{2\pi} \sqrt{\frac{A}{V h}} }\]

Dersom flasken har en sylindrisk tut med radius $r$, og flaskens indre er en sylinder med høyde $H$ og radius $R$, får vi

\[f = \frac{c}{2\pi} \frac{r}{R}\frac{1}{\sqrt{H h}}.\]

Merk imidlertid av svært få flasker har denne formen. De har for eksempel varierende tykkelse på tuten, skuldre og hals. Frekvensen er altså proporsjonal med forholdet $r/R$ mellom flaskens bredde og tutens bredde, og den er antiproporsjonal med det geometriske gjennomsnittet $\sqrt{Hh}$ av innsidens høyde $H$ og tutens høyde $h$. For en halvliterflaske får vi da

\[f_H = \frac{c}{2\pi} \frac{r}{R}\frac{1}{\sqrt{Hh}} \approx 185\,\mathrm{Hz} \left(\frac{c}{340\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}\right) \left(\frac{r}{0.9\,\mathrm{cm}}\right) \left(\frac{3.5\,\mathrm{cm}}{R}\right) \sqrt{ \left(\frac{13\,\mathrm{cm}}{H}\right) \left(\frac{4.35\,\mathrm{cm}}{h}\right) }. \]

Den enkleste måten å stemme tonen til en syngende flaske på er ved å legge til, eller fjerne, vann fra flasken. Altså ved å endre $H$. Da er det nyttig å vite at frekvensen skalerer med kvadratroten av høyden av flaskens indre. Altså må høyden $H$ firedobles for at frekvensen skal halveres.

Dette er bra, men det er fremdeles en lekemodell. Nøyaktig hva som skal regnes som luftmassen i tuten er, for eksempel, ganske uklart. Bevegelse av luften i tuten vil involvere bevegelse av luft rett utenfor og rett innenfor tuten. Hvordan vi skal tolke verdien for $h$ er altså uklart.